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[befindet sich noch im Aufbau... kann und wird 'noch' Fehler und Fehlfunktionen enthalten! Start 07.2023, Stand: 10.2024]

Der Begriff Kupferverluste steht für die Wärmeverluste durch den ohmschen Widerstand R und der daraus resultierenden Dämpfung D des Signals in einem Antennenkabel.

Kupferverluste (Gleichstrom):

R = ohmscher Widerstand [Ω]
ρ = spezifischer Widerstand [Ωm]
l = Länge des Leiters [m]
A = Fläche des Leiters (Querschnitt) [m²]

Kupferverluste (Skin-Effekt):

Die beiden Leiter (Innen-/Aussenleiter) eines Koaxialkabels haben unterschiedliche Durchmesser d und können auch aus verschiedenen Metallen bestehen, daher werden beide ohmschen Widerstände R getrennt voneinander berechnet und addiert:

R_δ = ohmscher Widerstand (Leitschichtdicke δ ⇒ Skin-Effekt) [Ω]
l = Länge des Leiters [m]
π = Kreiszahl (Pi) [1]
r = Radius Innenleiter [m]
R = Radius Aussenleiter [m]
σ = elektrische Leitfähigkeit [Sm^-1]
f = Frequenz [Hz]
µ_r = Relative Permeabilität [1]
µ₀ = Magnetische Feldkonstante [NA^-2]
d = Durchmesser Innenleiter [m]
D = Durchmesser Aussenleiter [m]
ⁱ/_o = Innenleiter/Aussenleiter

Es gibt zahleiche Möglichkeiten eine Dämpfung D in einem Antennenkabel hervorzurufen, daher dient der Begriff der Kupferverluste der Unterscheidung von anderen Dämpfungen und Verlusten, z.B. den dielektrischen Verlusten, die in einer Speiseleitung auftreten können.

Die Kupferverluste sind reele Verluste in Form von Verlustwärme durch den ohmschen Widerstand R des Leitermaterials die vom Antennenkabel an die Umgebung abgegeben wird.

Die ohmschen Verluste sind abhängig von der Länge l und der (Querschnitts-)Fläche A des leitfähigen Materials (i.d.R. Kupfer) sowie dessen elektrischen Leitfähigkeit σ und der Signal-Frequenz f (Skin-Effekt).

Die Kupferverluste des Innenleiters und des Aussenleiters (Schirmung) können sich zusätzlich zu den unterschiedlichen äquivalenten leitfähigen Flächen noch durch die Verwendung verschiedener Materialien (Metalle und Legierungen) unterscheiden.

Dennoch sind die ohmschen Verluste im wesentlichen durch kleinere leitende Fläche des Innenleiters (infolge des Skin-Effekts) größer als die des Aussenleiters.

Berechnung der Kupferverluste eines H2010-Koaxialkabels:

Die Kupferverluste (des Innenleiters) eines 10m langen '10er' Koaxialkabels (z.B. H2010: 7 Litze mit ∅ = 1 mm / Litze ) betragen bei Gleichstrom ca. 0,0313 Ω.

R = Ohmscher Widerstand_{(H2010, 1Hz, 10m)}: 0,0313 Ω
Spezifischer Widerstand ρ_(Kupfer): 0,01721 Ωmm²/m
Länge l_(Kabel): 10 m
Durchmesser d_Litze: 1 mm
Radius r_Litze: 0.5mm
Fläche A_Litze: 0,7854 mm²
Fläche A_Innenleiter: 5,4978 mm²

Hinzu kommt der Skin-Effekt, der mit zunehmender Frequenz f den Stromfluß von der Kreisfläche A_⊗ zum Rand des Leiters, auf eine deutlich kleinere stromdurchflossene Kreisringfläche A_⊚ mit der Leitschichtdicke δ verdrängt.

Für die Frequenz f von 500 MHz beträgt die Leitschichtdicke δ des Innenleiters 0,002953 mm.

Leitschichtdicke δ_{(Cu, 500 MHz)}: 0,002953 mm
Spezifischer Widerstand ρ_(Kupfer): 0,01721 Ωmm²/m
Frequenz f: 500 MHz
Kreisfrequenz ω: 3,14159·10⁹ s^-1
Permeabilität µ_(Kupfer): 1,2566*10^-6 Hm^-1

Das ergibt eine Kreisringfläche/Litze von 0,00925 mm².

Der ohmsche Widerstand R_δ für den Innenleiter errechnet sich zu:

Der Aussenleiter stellt die 'Rückleitung' dar und ist für das H 2010 eine Kombination aus Kupferfolie und Kupfergeflecht.
Der Gleichstrom-Widerstand vom Innenleiter wird mit 3.2 Ω/km angeben, der des Aussenleiters mit 9.2 Ω/km und der (Aussen-)Durchmesser des Aussenschirms beträgt ca. 10 mm.

Daraus lässt sich eine äquivalente Fläche A (≙ Kreisringfläche A_⊚) von 1,8707 mm² und eine (äquivalente) Schichtdicke dieses Kreisrings von 0,06 mm ermitteln.

Der ohmsche Widerstand R_δ für den Skin-Effekt der "Aussenhaut" des Aussenleiters errechnet sich zu:

Da der Skin-Effekt im Aussenschirm theoretische zweimal auftritt (innen und aussen, solange die Schichtdicke mindestens doppelt so groß ist wie die frequenzabhängige Leitschichtdicke δ), verdoppelt sich die äquvalente Leitschichtdicke δ und der ohmsche Widerstand R_δ des Aussenleiters halbiert sich auf 0,9276 Ω

Für den Gesamtwiderstand bedeutet das die Summe aus allen Widerstände zu:

Für eine Senderausgangsleistung P_A von 50 mW ergibt das eine Verlustleistung P_V von 3,58 mW.

Der prozentuale Leistungsverlust beträgt somit 7,17 %.

Diese Rechnung ist in Teilen stark vereinfacht und dient der Veranschaulichung der Zusammenhänge.

Länge l, Radius r und Frequenz f:

Die Länge l der Leitung beeinflußt den ohmschen Widerstand R_δ linear.

Der Durchmesser d der betrachteten Leitung hat für sehr dünne Innenleiter einen großen Einfluß auf den ohmschen Widerstand R_δ.

Der ohmschen Widerstand R_δ nimmt mit zunehmender Frequenz f durch die immer dünner werdende Leitschichtdicke δ ebenfalls zu.

Litze vs. Volldraht: Leitschichtdicke δ und Ohmscher Widerstand R_δ

Für die Frequenz f von 500 MHz beträgt die Leitschichtdicke δ des Innenleiters 0,002953 mm.

Eine Litze mit einem Durchmesser von ∅ = 1 mm hat eine Querschnitt-Fläche A_Litze von 0,7854 mm²

Das ergibt eine Kreisringfläche von 0,00925 mm²/Litze und einen ohmschen Widerstand R_δ von 1,8553 Ω/Litze.

Ein Volldraht mit der 10fachen Fläche A_Litze hat einen Durchmesser von ∅ ca. 3,16 mm und somit eine Querschnitt-Fläche A_Volldraht von 7,85 mm².

Das ergibt eine Kreisringfläche/Volldraht von 0,0293 mm²/Volldraht und einen ohmschen Widerstand R_δ von 0,5867 Ω/Volldraht. .

Mathematisch geht die Formel Leitschichtdicke δ zur Ermittlung des Skin-Effekts von einer Volldrahtleitung aus.
Rechnerisch bedeutet die Verwendung von Litzen eine Vervielfachung der Oberfläche und somit der Leitschichtdicke δ. Entsprechend ist eine Verdopplung der Leiteranzahl gleichzeitig eine Verdopplung der Leitschichtdicke δ und bedeutet eine Halbierung des ohmschen Widerstands R_δ.

Leitschichtdicke δ_{(Cu, 500 MHz)}: 0,002953 mm
Spezifischer Widerstand ρ_(Kupfer): 0,01721 Ωmm²/m
Frequenz f: 500 MHz
Kreisfrequenz ω: 3,14159·10⁹ s^-1
Permeabilität µ_(Kupfer): 1,2566*10^-6 Hm^-1
Länge l (des Leiters): 1m
Elektrische Leitfähigkeit σ_(Kupfer): 58,105752469494 Ωmm²/m

Ohmscher Widerstand R:

R = ohmscher Widerstand [Ω]
U = Spannung [V]
I = Strom [A]

Spezifischer Widerstand ρ:

ρ = spezifischer Widerstand [Ωm]
R = ohmscher Widerstand [Ω]
A = Fläche des Leiters (Querschnitt) [m²]
l = Länge des Leiters [m]

Für elektrische Leiter mit geringer Querschnittsfläche wird der Spezifischer Widerstand ρ statt in SI-Einheit (Ωm) in einer für dünne Drähte anschaulicheren Einheit angegeben.

⇒ Dämpfung
⇒ Elektrische Leitfähigkeit
⇒ Frequenz
⇒ Kreisringfläche
⇒ Leitschichtdicke
⇒ Ohmscher Widerstand
⇒ Skin-Effekt
⇒ Spezifischer Widerstand